Pour calculer le PGCD de deux nombres entiers positifs, dans l'exemple ci‑dessous:

– "a" = premier nombre entier positif
– "b" = deuxième nombre entier positif
– "r" = reste de la division des deux nombres entiers positifs

Le PGCD de "a" et "b", est le plus grand nombre qui peut diviser les deux nombres "a" et "b". La notation mathématique est: PGCD(a;b).

Pour trouver le PGCD de deux nombres, on peut utiliser une de ces méthodes au choix:
1 – par soustractions successives;
2 – par la liste des diviseurs de chacun des deux nombres;
3 – par l'algorithme d'Euclide.

Vu que pour les grands nombres c'est l'algorithme d'Euclide la méthode la plus rapide, nous allons utiliser celle‑ci pour les explications.

Il faut procéder de la façon suivante:

1 – On commence par diviser "a" par "b" ( a÷b ) et on note le reste "r" de la division;
2 – Ensuite, l'ancien "b" devient le nouveau "a" et le reste "r" de la division antérieure devient le nouveau "b". On refait une nouvelle division de "a" par "b" et on note le nouveau reste "r" de cette division;
3 – Ensuite, on refait l'alinéa (2), jusqu'à ce qu'une division donne le reste égal a "0".

⇒  Le PGCD de "a" et "b", est le dernier reste "r" plus grand que "0".

Pour calculer le PGCD de deux nombres entiers positifs, vous pouvez aussi utiliser la calculatrice disponible sur le site, en cliquant sur le lien suivant: calculatrice PGCD

Les instructions suivantes sont pour calculer rapidement le reste d'une division. Vous pouvez utiliser une des deux méthodes.

➾  Première méthode:

1 – diviser "a" par "b";
2 – du quotient obtenu de la division, gardez la partie décimale. Par exemple, si le quotient de la division de "a" par "b" est 15,0659, il faut garder "0,0659";
3 – multiplier cette partie décimale par le diviseur "b". Dans notre exemple, multiplier "0,0659" par "b". On obtient ainsi le reste de la division.

Exemple avec des nombres pour obtenir le reste de ( a÷b ):

"a" = 15
"b" = 6

1 – 15 ÷ 6 = 2,5. La partie décimale est 0,5;
2 – 6  × 0,5 = 3

➞  Conclusion: le reste de la division de "15" par "6" est "3".

➾  Deuxème méthode:

1 – diviser "a" par "b";
2 – multiplier "b" par la partie entière du quotient obtenu de la division de "a" par "b";
3 – soustraire "a" du résultat obtenu par la multiplication antérieure. On obtient ainsi le reste de la division.

Exemple avec des nombres pour obtenir le reste de ( a÷b ):

"a" = 85
"b" = 11

1 – 85 ÷ 11 = 7,72. La partie entière est 7;
2 – 11  × 7 = 77;
3 – 85 − 77 = 8

➞  Conclusion: le reste de la division de "85" par "11" est "8".

Pour calculer le reste d'une division, vous pouvez aussi utiliser la calculatrice disponible sur le site, en cliquant sur le lien suivant: calculatrice reste d'une division