Pour calculer la racine carrée d'un nombre entier, ( √ N ), il existe plusieurs façons d'obtenir un résultat.

Dans l'exemple expliqué ci‑dessous, nous utiliserons la méthode de Héron. Cette méthode de calcul par approximation est, peut‑être, la plus simple à utiliser lorsque le nombre à calculer n'est pas un carré parfait.

Note: un nombre carré parfait, est un nombre entier positif dont la racine carrée est également un nombre entier positif.

La formule est:
x[n+1]=(x[n]+N/x[n])/2
Elle représente l'itération automatique pour calculer la prochaine estimation de la racine carrée.

Observation: l'itération est une séquence d'opérations où, pour chaque nouvelle opération, on utilise le résultat de l'opération précédente.

Pour simplifier l'explication dans l'exemple ci‑dessous:

– "N" = racine carrée à calculer
– "a" = premier nombre utilisé comme estimation
– "b" = résultat de la première opération
– "c" = résultat de la deuxième opération
– "d" = résultat de la troisième opération

La valeur initiale pour l'estimation de la racine carrée peut être "N" lui‑même ou toute autre valeur proche.

Astuce: pour diminuer le nombre d'opérations, c'est mieux de commencer avec une valeur qui s'approche du résultat final, par exemple, si la valeur de la racine carrée est entre:

– 1 et 99, le résultat est inférieur à 10, vu que (10 × 10 = 100);
– 101 et 399, le résultat est inférieur à 20, vu que (20 × 20 = 400);
– 401 et 899, le résultat est inférieur à 30, vu que (30 × 30 = 900).

Nous utiliserons de la façon suivante, pour le premier calcul:
(première estimation "a" + valeur de la racine carrée "N" / première estimation "a") / 2 = résultat "b".
(a + N / a) / 2 = b
Ensuite:
(b + N / b) / 2 = c
Suivant:
(c + N / c) / 2 = d
Et ainsi de suite jusqu'à ce que vous obteniez un nombre entier ou un résultat acceptable s'il contient des décimales.

Par conséquent, lorsque le résultat d'une opération est un nombre entier, cela signifie que la valeur de la racine carrée est un carré parfait, par exemple, la racine carrée de 49 est 7 (carré parfait).

Si le résultat comporte des décimales, vous pouvez continuer les opérations jusqu'à ce que la valeur des décimales de la dernière opération, soit identique au résultat de l'opération précédente.

Observation: après un certain nombre d'opérations, la valeur de la partie entière du résultat, reste inchangée. Seule la partie décimale change.
Conseil: utilisez le résultat avec un maximum de quatre décimales.

➾  Premier exemple:
Calculer la racine carrée de 81 ( √ 81 ), avec des nombres dont la valeur est un carré parfait.

– "N" = 81
– "a" = 70

Note: on commencent toujours les calculs par la division, dans notre premier exemple, "N / a", ensuite on additionne "a" au résultat de la division et finalement, on divise le dernier résultat par 2, pour obtenir "b".

(a + N / a) / 2 = b
(70 + 81 / 70) / 2 = 35,5785 (= "b")

Explication détaillée:

81 / 70 = 1,1571
70 + 1,1571 = 71,1571
71,1571 / 2 = 35,5785 (= "b")

Ensuite:

(b + N /b ) / 2 = c
(35,5785 + 81 / 35,5785) / 2 = 18,9275 (= "c")

(18,9275 + 81 / 18,9275) / 2 = 11,6034 (= "d")

(11,6034 + 81 / 11,6034) / 2 = 9,2920 (= "e")

(9,2920 + 81 / 9,2920) / 2 = 9,0045 (= "f")

(9,0045 + 81 / 9,0045) / 2 = 9

Le résultat est 9 (carré parfait).
Note: pour vérifier si le résultat est correct, il suffit de multiplier ce résultat par lui‑même pour voir s'il correspond à la valeur de la racine carrée.

➾  Deuxième exemple:
Calculer la racine carrée de 55 ( √ 55 ), avec des nombres dont la valeur n'est pas un carré parfait.

– "N" = 55
– "a" = 7

(a + N / a) / 2 = b
(7 + 55 / 7) / 2 = 7,4285 (= "b")

(b + N /b ) / 2 = c
(7,4285 + 55 / 7,4285) / 2 = 7,4162 (= "c")

(7,4162 + 55 / 7,4162) / 2 = 7,4161 (= "d")

(7,4161 + 55 / 7,4161) / 2 = 7,4161 (= "e")

Vu que le résultat de la dernière opération est identique à celui de la précédente, (ce n'est pas toujours le cas!), on peut conclure que la racine carrée de 55 est 7,4161.
Si vous multipliez 7,4161 par lui‑même, vous obtenez 54,9985. C'est un résultat acceptable!