Para calcular a raiz quadrada dum número inteiro, ( √ N ), existem várias maneiras para obter um resultado.

No exemplo explicado abaixo, vamos utilizar o método de Heron. Este método de cálculo por aproximação, talvez seja o mais simples de utilização, quando o número para calcular não é um quadrado perfeito.

Nota: um número quadrado perfeito, é um número inteiro positivo cuja raiz quadrada é igualmente um número inteiro positivo.

A fórmula é:
x[n+1]=(x[n]+N/x[n])/2
Ela representa a iteração automática para calcular a próxima estimativa da raiz quadrada.

Observação: a iteração é uma sequência de operações em que, para cada nova operação, utiliza‑se o resultado da operação anterior.

Para simplificar a explicação no exemplo abaixo:

– "N" = raiz quadrada a calcular
– "a" = primeiro número utilizado como estimativa
– "b" = resultado da primeira operação
– "c" = resultado da segunda operação
– "d" = resultado da terceira operação

O valor inicial para a estimativa da raiz quadrada, pode ser o próprio "N" ou qualquer valor próximo dele.

Dica: para reduzir o número de operações, é melhor começar com um valor próximo do resultado final, por exemplo, se o valor da raiz quadrada estiver entre:

– 1 e 99, o resultado é inferior a 10, visto que (10 × 10 = 100);
– 101 e 399, o resultado é inferior a 20, visto que (20 × 20 = 400);
– 401 e 899, o resultado é inferior a 30, visto que (30 × 30 = 900).

Vamos utilizar a fórmula da seguinte maneira para o primeiro cálculo:
(primeira estimativa "a" + valor da raiz quadrada "N" / primeira estimativa "a") / 2 = resultado "b".
(a + N / a) / 2 = b
A seguir:
(b + N / b) / 2 = c
Seguidamente:
(c + N / c) / 2 = d
E assim sucessivamente até obter um número inteiro ou um resultado aceitável caso contenha decimais.

Portanto, quando o resultado duma operação é um número inteiro, isso significa que o valor da raiz quadrada é um quadrado perfeito, por exemplo, a raiz quadrada de 49 é 7 (quadrado perfeito).

Se, por exemplo, o resultado tiver decimais, pode‑se continuar com as operações até que o valor das decimais da última operação, seja idêntico ao resultado da operação anterior.

Observação: o valor da parte inteira do resultado, permanece inalterada a partir dum certo número de operações. Só muda a parte decimal.
Conselho: utilize o resultado com um máximo de quatro decimais.

➾  Primeiro exemplo:
Calcular a raiz quadrada de 81 ( √ 81 ), com números e em que o valor é um quadrado perfeito.

– "N" = 81
– "a" = 70

Nota: os cálculos começam sempre pela divisão, no nosso primeiro exemplo, "N / a", a seguir adiciona‑se o "a" ao resultado da divisão e finalmente, divide‑se o último resultado por 2, para obter "b".

(a + N / a) / 2 = b
(70 + 81 / 70) / 2 = 35,5785 (= "b")

Explicação detalhada:

81 / 70 = 1,1571
70 + 1,1571 = 71,1571
71,1571 / 2 = 35,5785 (= "b")

A seguir:

(b + N /b ) / 2 = c
(35,5785 + 81 / 35,5785) / 2 = 18,9275 (= "c")

(18,9275 + 81 / 18,9275) / 2 = 11,6034 (= "d")

(11,6034 + 81 / 11,6034) / 2 = 9,2920 (= "e")

(9,2920 + 81 / 9,2920) / 2 = 9,0045 (= "f")

(9,0045 + 81 / 9,0045) / 2 = 9

O resultado é 9 (quadrado perfeito).
Nota: para verificar se o resultado é correto, basta multiplicar esse resultado por ele próprio para ver se corresponde ao valor da raiz quadrada.

➾  Segundo exemplo:
Calcular a raiz quadrada de 55 ( √ 55 ), com números e em que o valor não é um quadrado perfeito.

– "N" = 55
– "a" = 7

(a + N / a) / 2 = b
(7 + 55 / 7) / 2 = 7,4285 (= "b")

(b + N /b ) / 2 = c
(7,4285 + 55 / 7,4285) / 2 = 7,4162 (= "c")

(7,4162 + 55 / 7,4162) / 2 = 7,4161 (= "d")

(7,4161 + 55 / 7,4161) / 2 = 7,4161 (= "e")

Visto que o resultado da última operação é idêntico ao anterior, (nem sempre acontece!), podemos concluir que a raiz quadrada de 55 é 7,4161.
Se multiplicar 7,4161 por ele próprio, vai obter 54,9985. É um resultado aceitável!